数据结构与算法之美26 | 红黑树(下):掌握这些技巧,你也可以实现一个红黑树

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26 | 红黑树(下):掌握这些技巧,你也可以实现一个红黑树

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红黑树是一个让我又爱又恨的数据结构,“爱”是因为它稳定、高效的性能,“恨”是因为实现起来实在太难了。我今天讲的红黑树的实现,对于基础不太好的同学,理解起来可能会有些困难。但是,我觉得没必要去死磕它。

我为什么这么说呢?因为,即便你将左右旋背得滚瓜烂熟,我保证你过不几天就忘光了。因为,学习红黑树的代码实现,对于你平时做项目开发没有太大帮助。对于绝大部分开发工程师来说,这辈子你可能都用不着亲手写一个红黑树。除此之外,它对于算法面试也几乎没什么用,一般情况下,靠谱的面试官也不会让你手写红黑树的。

如果你对数据结构和算法很感兴趣,想要开拓眼界、训练思维,我还是很推荐你看一看这节的内容。但是如果学完今天的内容你还觉得懵懵懂懂的话,也不要纠结。我们要有的放矢去学习。你先把平时要用的、基础的东西都搞会了,如果有余力了,再来深入地研究这节内容。

好,我们现在就进入正式的内容。上一节,我们讲到红黑树定义的时候,提到红黑树的叶子节点都是黑色的空节点。当时我只是粗略地解释了,这是为了代码实现方便,那更加确切的原因是什么呢? 我们这节就来说一说。

实现红黑树的基本思想

不知道你有没有玩过魔方?其实魔方的复原解法是有固定算法的:遇到哪几面是什么样子,对应就怎么转几下。你只要跟着这个复原步骤,就肯定能将魔方复原。

实际上,红黑树的平衡过程跟魔方复原非常神似,大致过程就是:遇到什么样的节点排布,我们就对应怎么去调整。只要按照这些固定的调整规则来操作,就能将一个非平衡的红黑树调整成平衡的。

还记得我们前面讲过的红黑树的定义吗?今天的内容里,我们会频繁用到它,所以,我们现在再来回顾一下。一棵合格的红黑树需要满足这样几个要求:

  • 根节点是黑色的;

  • 每个叶子节点都是黑色的空节点(NIL),也就是说,叶子节点不存储数据;

  • 任何相邻的节点都不能同时为红色,也就是说,红色节点是被黑色节点隔开的;

  • 每个节点,从该节点到达其可达叶子节点的所有路径,都包含相同数目的黑色节点。

在插入、删除节点的过程中,第三、第四点要求可能会被破坏,而我们今天要讲的“平衡调整”,实际上就是要把被破坏的第三、第四点恢复过来。

在正式开始之前,我先介绍两个非常重要的操作,左旋(rotate left)右旋(rotate right)。左旋全称其实是叫围绕某个节点的左旋,那右旋的全称估计你已经猜到了,就叫围绕某个节点的右旋

我们下面的平衡调整中,会一直用到这两个操作,所以我这里画了个示意图,帮助你彻底理解这两个操作。图中的a,b,r表示子树,可以为空。

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前面我说了,红黑树的插入、删除操作会破坏红黑树的定义,具体来说就是会破坏红黑树的平衡,所以,我们现在就来看下,红黑树在插入、删除数据之后,如何调整平衡,继续当一棵合格的红黑树的。

插入操作的平衡调整

首先,我们来看插入操作。

红黑树规定,插入的节点必须是红色的。而且,二叉查找树中新插入的节点都是放在叶子节点上。所以,关于插入操作的平衡调整,有这样两种特殊情况,但是也都非常好处理。

  • 如果插入节点的父节点是黑色的,那我们什么都不用做,它仍然满足红黑树的定义。

  • 如果插入的节点是根节点,那我们直接改变它的颜色,把它变成黑色就可以了。

除此之外,其他情况都会违背红黑树的定义,于是我们就需要进行调整,调整的过程包含两种基础的操作:左右旋转改变颜色

红黑树的平衡调整过程是一个迭代的过程。我们把正在处理的节点叫作关注节点。关注节点会随着不停地迭代处理,而不断发生变化。最开始的关注节点就是新插入的节点。

新节点插入之后,如果红黑树的平衡被打破,那一般会有下面三种情况。我们只需要根据每种情况的特点,不停地调整,就可以让红黑树继续符合定义,也就是继续保持平衡。

我们下面依次来看每种情况的调整过程。提醒你注意下,为了简化描述,我把父节点的兄弟节点叫作叔叔节点,父节点的父节点叫作祖父节点。

CASE 1:如果关注节点是a,它的叔叔节点d是红色,我们就依次执行下面的操作:

  • 将关注节点a的父节点b、叔叔节点d的颜色都设置成黑色;

  • 将关注节点a的祖父节点c的颜色设置成红色;

  • 关注节点变成a的祖父节点c;

  • 跳到CASE 2或者CASE 3。

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CASE 2:如果关注节点是a,它的叔叔节点d是黑色,关注节点a是其父节点b的右子节点,我们就依次执行下面的操作:

  • 关注节点变成节点a的父节点b;

  • 围绕新的关注节点b左旋;

  • 跳到CASE 3。

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CASE 3:如果关注节点是a,它的叔叔节点d是黑色,关注节点a是其父节点b的左子节点,我们就依次执行下面的操作:

  • 围绕关注节点a的祖父节点c右旋;

  • 将关注节点a的父节点b、兄弟节点c的颜色互换。

  • 调整结束。

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删除操作的平衡调整

红黑树插入操作的平衡调整还不是很难,但是它的删除操作的平衡调整相对就要难多了。不过原理都是类似的,我们依旧只需要根据关注节点与周围节点的排布特点,按照一定的规则去调整就行了。

删除操作的平衡调整分为两步,第一步是针对删除节点初步调整。初步调整只是保证整棵红黑树在一个节点删除之后,仍然满足最后一条定义的要求,也就是说,每个节点,从该节点到达其可达叶子节点的所有路径,都包含相同数目的黑色节点;第二步是针对关注节点进行二次调整,让它满足红黑树的第三条定义,即不存在相邻的两个红色节点。

1.针对删除节点初步调整

这里需要注意一下,红黑树的定义中“只包含红色节点和黑色节点”,经过初步调整之后,为了保证满足红黑树定义的最后一条要求,有些节点会被标记成两种颜色,“红-黑”或者“黑-黑”。如果一个节点被标记为了“黑-黑”,那在计算黑色节点个数的时候,要算成两个黑色节点。

在下面的讲解中,如果一个节点既可以是红色,也可以是黑色,在画图的时候,我会用一半红色一半黑色来表示。如果一个节点是“红-黑”或者“黑-黑”,我会用左上角的一个小黑点来表示额外的黑色。

CASE 1:如果要删除的节点是a,它只有一个子节点b,那我们就依次进行下面的操作:

  • 删除节点a,并且把节点b替换到节点a的位置,这一部分操作跟普通的二叉查找树的删除操作一样;

  • 节点a只能是黑色,节点b也只能是红色,其他情况均不符合红黑树的定义。这种情况下,我们把节点b改为黑色;

  • 调整结束,不需要进行二次调整。

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CASE 2:如果要删除的节点a有两个非空子节点,并且它的后继节点就是节点a的右子节点c。我们就依次进行下面的操作:

  • 如果节点a的后继节点就是右子节点c,那右子节点c肯定没有左子树。我们把节点a删除,并且将节点c替换到节点a的位置。这一部分操作跟普通的二叉查找树的删除操作无异;

  • 然后把节点c的颜色设置为跟节点a相同的颜色;

  • 如果节点c是黑色,为了不违反红黑树的最后一条定义,我们给节点c的右子节点d多加一个黑色,这个时候节点d就成了“红-黑”或者“黑-黑”;

  • 这个时候,关注节点变成了节点d,第二步的调整操作就会针对关注节点来做。

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CASE 3:如果要删除的是节点a,它有两个非空子节点,并且节点a的后继节点不是右子节点,我们就依次进行下面的操作:

  • 找到后继节点d,并将它删除,删除后继节点d的过程参照CASE 1;

  • 将节点a替换成后继节点d;

  • 把节点d的颜色设置为跟节点a相同的颜色;

  • 如果节点d是黑色,为了不违反红黑树的最后一条定义,我们给节点d的右子节点c多加一个黑色,这个时候节点c就成了“红-黑”或者“黑-黑”;

  • 这个时候,关注节点变成了节点c,第二步的调整操作就会针对关注节点来做。

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2.针对关注节点进行二次调整

经过初步调整之后,关注节点变成了“红-黑”或者“黑-黑”节点。针对这个关注节点,我们再分四种情况来进行二次调整。二次调整是为了让红黑树中不存在相邻的红色节点。

CASE 1:如果关注节点是a,它的兄弟节点c是红色的,我们就依次进行下面的操作:

  • 围绕关注节点a的父节点b左旋;

  • 关注节点a的父节点b和祖父节点c交换颜色;

  • 关注节点不变;

  • 继续从四种情况中选择适合的规则来调整。

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CASE 2:如果关注节点是a,它的兄弟节点c是黑色的,并且节点c的左右子节点d、e都是黑色的,我们就依次进行下面的操作:

  • 将关注节点a的兄弟节点c的颜色变成红色;

  • 从关注节点a中去掉一个黑色,这个时候节点a就是单纯的红色或者黑色;

  • 给关注节点a的父节点b添加一个黑色,这个时候节点b就变成了“红-黑”或者“黑-黑”;

  • 关注节点从a变成其父节点b;

  • 继续从四种情况中选择符合的规则来调整。

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CASE 3:如果关注节点是a,它的兄弟节点c是黑色,c的左子节点d是红色,c的右子节点e是黑色,我们就依次进行下面的操作:

  • 围绕关注节点a的兄弟节点c右旋;

  • 节点c和节点d交换颜色;

  • 关注节点不变;

  • 跳转到CASE 4,继续调整。

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CASE 4:如果关注节点a的兄弟节点c是黑色的,并且c的右子节点是红色的,我们就依次进行下面的操作:

  • 围绕关注节点a的父节点b左旋;

  • 将关注节点a的兄弟节点c的颜色,跟关注节点a的父节点b设置成相同的颜色;

  • 将关注节点a的父节点b的颜色设置为黑色;

  • 从关注节点a中去掉一个黑色,节点a就变成了单纯的红色或者黑色;

  • 将关注节点a的叔叔节点e设置为黑色;

  • 调整结束。

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解答开篇

红黑树的平衡调整就讲完了,现在,你能回答开篇的问题了吗?为什么红黑树的定义中,要求叶子节点是黑色的空节点?

要我说,之所以有这么奇怪的要求,其实就是为了实现起来方便。只要满足这一条要求,那在任何时刻,红黑树的平衡操作都可以归结为我们刚刚讲的那几种情况。

还是有点不好理解,我通过一个例子来解释一下。假设红黑树的定义中不包含刚刚提到的那一条“叶子节点必须是黑色的空节点”,我们往一棵红黑树中插入一个数据,新插入节点的父节点也是红色的,两个红色的节点相邻,这个时候,红黑树的定义就被破坏了。那我们应该如何调整呢?

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你会发现,这个时候,我们前面讲的插入时,三种情况下的平衡调整规则,没有一种是适用的。但是,如果我们把黑色的空节点都给它加上,变成下面这样,你会发现,它满足CASE 2了。

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你可能会说,你可以调整一下平衡调整规则啊。比如把CASE 2改为“如果关注节点a的叔叔节点b是黑色或者不存在,a是父节点的右子节点,就进行某某操作”。当然可以,但是这样的话规则就没有原来简洁了。

你可能还会说,这样给红黑树添加黑色的空的叶子节点,会不会比较浪费存储空间呢?答案是不会的。虽然我们在讲解或者画图的时候,每个黑色的、空的叶子节点都是独立画出来的。实际上,在具体实现的时候,我们只需要像下面这样,共用一个黑色的、空的叶子节点就行了。

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内容小结

“红黑树一向都很难学”,有这种想法的人很多。但是我感觉,其实主要原因是,很多人试图去记忆它的平衡调整策略。实际上,你只需要能看懂我讲的过程,没有知识盲点,就算是掌握了这部分内容了。毕竟实际的软件开发并不是闭卷考试,当你真的需要实现一个红黑树的时候,可以对照着我讲的步骤,一点一点去实现。

现在,我就来总结一下,如何比较轻松地看懂我今天讲的操作过程。

第一点,把红黑树的平衡调整的过程比作魔方复原,不要过于深究这个算法的正确性。你只需要明白,只要按照固定的操作步骤,保持插入、删除的过程,不破坏平衡树的定义就行了。

第二点,找准关注节点,不要搞丢、搞错关注节点。因为每种操作规则,都是基于关注节点来做的,只有弄对了关注节点,才能对应到正确的操作规则中。在迭代的调整过程中,关注节点在不停地改变,所以,这个过程一定要注意,不要弄丢了关注节点。

第三点,插入操作的平衡调整比较简单,但是删除操作就比较复杂。针对删除操作,我们有两次调整,第一次是针对要删除的节点做初步调整,让调整后的红黑树继续满足第四条定义,“每个节点到可达叶子节点的路径都包含相同个数的黑色节点”。但是这个时候,第三条定义就不满足了,有可能会存在两个红色节点相邻的情况。第二次调整就是解决这个问题,让红黑树不存在相邻的红色节点。

课后思考

如果你以前了解或者学习过红黑树,关于红黑树的实现,你也可以在留言区讲讲,你是怎样来学习的?在学习的过程中,有过什么样的心得体会?有没有什么好的学习方法?


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